A Fórmula Do Número de Algarismos no Falso Período Dizimal: Entendendo os Números a Partir da Forma Como São Escritos

Quando dividimos um número por outro, o resultado é expresso em uma sequência de algarismos. Esta sequência de algarismos tem uma parte fracionária, que são aqueles algarismos que vêm depois da vírgula. Esta parte fracionária tem, ela própria, duas porções que não ficam especialmente destacadas uma da outra: uma que sempre está ali e outra que só às vezes aparece.

É possível calcular o número de algarismos que há na dízima de qualquer número racional. Sempre há uma sequência de algarismos que se repetem e, às vezes, aparece uma outra sequência que ocorre uma única vez. Podemos calcular o número de algarismos de ambas!

Por exemplo, a dízima de \( \frac{1}{7}=0,142857...\) tem 6 algarismos que se repetem indefinidamente, na mesma ordem, \(142857\), e formam assim a dízima infinita do número \( \frac{1}{7}\).

Um outro exemplo é o da fração \( \frac{8}{65}=0,123076923...\). A sequência inicial, \( 123\), de três algarismos, ocorre uma única vez. Após este período inicial, a dízima do \( \frac{8}{65}\) compõe-se apenas da sequência \( 076923\).

Foi observando números assim, que, muitos anos atrás, eu quis encontrar a fórmula que dava a exata quantidade de algarismos no período de qualquer número que tivesse a forma \( \frac{1}{n}\).

Os primeiros insights sobre como chegar em tal fórmula ocorreram aos poucos, demoradamente.

No meio-tempo, eu calculei, calculei e calculei…​ Hoje em dia, percebo que, naquela época, eu passava longos períodos em uma atitude de extrema concentração que não era completamente palatável para familiares, amigos e pessoas mais próximas. Mas, embora o aspecto social da minha vida naquele tempo tenha ficado abaixo das minhas próprias expectativas, este fato foi, eventualmente, compensado por pequenas descobertas e pela beleza e verdade de certas equações, fruto de um trabalho que nunca me negou gozos e satisfações de tempos em tempos.

Eu realmente passava, muitas vezes, horas, dias e noites tentando conjurar verdades matemáticas a partir de pensamentos e esquemas mentais que, à época, ainda estavam pouco ou nada equipados com os instrumentos próprios da arte. Não que hoje em dia eu esteja muito melhor do que naquela época, mas, saber que a Realidade existe em Deus, que abstrações matemáticas vão daquela em direção a Este e que não passam de abstrações se restritas a formalismos lógico-analíticos excessivos, sem o batismo nas águas profundas da poesia até os mares abertos da dialética, repito, saber disto robustece a inteligência, pois enche o pensamento daqueles extratos da realidade que vão desde o mais material e grosseiro até às intangibilidades abissais do Verbo e, para além, no Espírito.

Eu eventualmente cheguei às tais fórmulas que eu procurava. Obtive, primeiro, a fórmula para o período que se repete, ou, período verdadeiro, e a chamei de \( \alpha\) (letra grega alfa). Quando, finalmente, cheguei à fórmula daquele primeiro período, aquele que nem sempre ocorre, o falso período, chamei-o de \( \widetilde{\alpha}\) (lê-se alfa til). Eu, pessoalmente, chamo todo este trabalho de Teoria Alfa. O desenvolvimento da teoria está longe de ser acabado, muito mais longe do que o seu início até o momento em que escrevo! Mas, cada vez que a retomo, a retomo porque uma nova intuição se deixa perceber e, normalmente, traz consigo a ponta de linha de um novelo muito longo.

Posteriormente, avancei ainda um pouco mais e cheguei a uma fórmula para \( \alpha(b,m,n)\) e \( \widetilde{\alpha}(b,m,n)\), que dão o número de algarismos no período e no falso período dizimais de um racional qualquer, \( \frac{m}{n}\), e em uma base \( b\) qualquer. Mas, o tema deste primeiro livro é a fórmula do número de algarismos do período falso e o caminho que leva até ela.

O leitor verá que a teoria se desenvolve a partir de uma formalização inicial do procedimento simples que realiza a divisão de \( m\) por \( n\) para, a partir do segundo volume, uma algebrização que relaciona \( \alpha\) com outras quantidades e entes que surgem naturalmente durante este processo de contagem de algarismos, e, de repente, saltaremos para um campo aberto em que os próprios números inteiros serão dados em forma algébrica em termos dos \( \alpha\)`s envolvidos em sua fatoração prima. É um caminho longo em que beleza e admiração vão se intensificando e mais que compensando o esforço da caminhada.

O leitor verá também que os números \( \alpha\) ou \( \widetilde{\alpha}\) não são tão importantes em si mesmos. É que eles mudam de base para base. Explicarei isto em grande detalhe, neste presente volume e no próximo. Mas, a tentativa de enquadrá-los em fórmulas é tão frutífera, bela e nutritiva, pois que leva à matematização da própria maneira de se escrever um número racional, em uma base qualquer, e a fortalecer a evidência que nos leva a definir os números reais como sendo, ao mesmo tempo, a característica gregária e unitária do todo e de suas partes, que é, de fato, um aspecto de tudo o que é objeto de experiência.

A matemática usada na apresentação desta teoria, lida com conceitos simples e fáceis de serem apreendidos e qualquer pessoa com muito boa vontade para com eles pode entender perfeitamente bem o assunto. Logo, logo, iniciarei a publicação de vídeos em meu canal de YouTube (@aprodriguesOficial) para dar maiores explicações sobre alguns pontos apresentados neste livro e para apresentar alguns dos conceitos-chave que servem de base à teoria alfa.

Este volume apresenta os rudimentos da teoria alfa e termina com a exposição da fórmula de \( \widetilde{\alpha}\) e, pelo menos, uma de suas aplicações interessantes. Tudo o que virmos aqui, servirá de base ao conteúdo do próximo livro que, na opinião deste autor, é a parte principal e mais interessante da teoria alfa.

Como uma palavra final deste prefácio, eu gostaria de dizer que o assunto apresentado, aqui, decorre de um interesse que jamais dependeu de notas, de salário, ou de compensações financeiras, embora estes últimos dois tenham feito falta e teriam sido muito bem-vindos. Eu apenas tentei resolver um problema tal como ele se apresentou a mim e tenho sido bem-sucedido nisto. Certamente, não sou o primeiro a falar sobre estas coisas, nem serei o último. Não tenho a intenção de estar afinado com o que estão dizendo ou fazendo na academia, embora não despreze nada daquilo.

Deste modo, não tenho mais a pressa em buscar os limites do conhecimento atual, os quais se dilatam constantemente. Este autor dá mais valor à profundidade do que à largueza e, mesmo assim, aprofunda-se em passos de formiga, despreocupado com o aumento inflacionado da ciência do nosso tempo em que o aumento do conhecimento reflete também o aumento de contradições e fraudes, verdadeiramente científicas.

Em se tratando de vida de estudos, tento seguir as indicações dadas pelos meus interesses mais pessoais ou as dadas pelas necessidades apontadas por aquilo que eu esteja estudando em dado momento. Com certeza, isto não é uma receita que valha para todos. Cada indivíduo com vocação para a vida de estudos deve entender-se, em primeiro lugar, e saber dispor os recursos e oportunidades para este fim de modo que seja o melhor para si. Este autor encara a vida de estudos no tempo presente como uma preparação para a Eternidade na qual, em verdade, já estamos. Então, não há pressa alguma em chegar a algum destino, apenas o compromisso sério em conduzir-me para fora em direção a domínios cada vez maiores da Realidade.

Considere a divisão que está realizada na continha 1 dividido por 7, abaixo. É assim que aprendemos a fazê-la desde as primeiras séries escolares. Este é o procedimento simples com o qual dividimos qualquer número \( n\) por um outro número \( d\). Ele é o nosso ponto de partida.

Por ora, vamos apenas observar que, em 1 dividido por 7, paramos de calcular quando obtivemos o número \( 1\), que é o numerador com o qual iniciamos a conta.

Agora, é preciso que reconheçamos que, na continha acima, fizemos os seguintes cálculos

Se for preciso, o leitor deve fazer à mão a divisão de 1 por 7, ou de quaisquer pares de números, para se convencer (e relembrar) do que acabamos de ver.

Vamos agora, fazer uma pequena manipulação em cada uma das equações acima, trocando de lado o segundo termo do membro esquerdo com o número do membro direito.

Agora, daremos um "pulo de gato" e traduziremos as 8 equações acima em congruências matemáticas. Esta transposição de linguagem simples nos dotará das possibilidades algébricas operativas e expressivas que usaremos em todo este trabalho. Esta tradução deixa as 8 equações acima com o seguinte aspecto:

Bem, agora, vamos mostrar a forma geral da continha usada para dividir um número \( n\) por outro número \( d\). A continha 1 dividido por 7 acima é um caso particular do que vamos expor abaixo.

Como antes, esta conta pode ser prontamente convertida em

para, então, trocarmos membros de lado e obtermos

e, finalmente, fazermos a conversão de (5) para o formato congruencial

É neste ponto que queríamos chegar! A partir daqui, a Teoria Alpha se desenrola!

Veremos, em seguida, que a expressão em 6 é prontamente generalizada para um base \( b\) qualquer, de modo que a sua aparência fica

Já quero adiantar que as expressões em 6 e em 7 permitem a contagem do número de algarismos periódicos da dízima de \( \frac{n}{d}\) e que isto acontece, basicamente, porque \( r_0=r_{\alpha}\). Há outros detalhes envolvidos nesta última e pequena equação. Veremos todos eles, por completo, no que se seguirá.

Por fim, observemos que 7 tem, em si, uma sequência finita, \( s\), de inteiros positivos. Estes inteiros positivos são os restos, \( r_i\), que aparecem na divisão de \( n\) por \( d\). Assim, \( s=\{r_i\}_{i=0}^{\alpha}\). A Teoria Alfa tem tudo a ver com a contagem dos elementos de \( s\) e com a tentativa de divisar as suas belas e frutuosas propriedades matemáticas.

A sequência \( s\) herda, naturalmente, a periodicidade dizimal de \( \frac{n}{d}\). Sob este aspecto, não seria preciso provar que \( s\) é periódica, pois ela não poderia não ser, já que ela é apenas parte integrante da conta de n dividido por d que, como sabemos, é onde esta periodicidade se manifesta e de onde, para começar, sabemos que ela acontece.

Mas, empreender a tarefa de tal prova é, como veremos a seguir, tão sobejamente frutífera, que acabaremos por esquecer completamente a fadiga dos esforços de arar esta terra e plantar sobre ela.

A sequência \( s(b,m,n)\) é uma sequência infinita que é composta pela justaposição de infinitas subsequências finitas. Este é um fato diretamente observável na dízima de \( \frac{m}{n}\) e repetitível já que, cada vez que calculamos \( \frac{m}{n}\), podemos constatar que há \( \alpha(b,m,n)\) algarismos dizimais que se repetem na mesma ordem.

Com o que temos, até agora, se quisermos conhecer o elemento \( i\) de \( s=\{r_i\}_{i=0}^{\infty}\), temos que calcular cada um dos seus elementos separadamente, ou seja, temos que realizar \( i\) cálculos a partir de \( r_0\) se desejamos conhecer o elemento \( i\) de \( s\).

Mas, podemos dar um passo além e verificar uma fórmula simples

com a qual conseguiremos calcular qualquer um dos elementos \( r_i=s_i\) de \( s\) de uma única feita. Veremos que esta pequena fórmula interessante é muito mais útil analiticamente do que operacionalmente. É que tanto bases quanto expoentes podem ficar muito grandes e inviabilizar o seu tratamento em nível numérico.

Mas, veremos que esta pequena fórmula nos renderá uns bons avanços na direção em que queremos seguir. Para isto, vamos provar o seguinte teorema.

Precisamos começar a conhecer melhor quem são os restos, \( r_i\), na divisão de \( m\) por \( n\). Para isto, podemos nos perguntar quem são os fatores que dividem, ao mesmo tempo, a cada um dos restos de \( s(b,m,n)\).

Os quatro teoremas seguintes são uma ajuda importante nesta tarefa.

Para começar, o próximo Teorema 3 , abaixo, nos diz que há uma relação interessante entre qualquer \( r_i\) e o produto \( b\cdot r_0\), que envolve o resto inicial de \( s(b,m,n)\). Esta relação envolve o conceito de máximo divisor comum, ou \( mdc\), entre a quantidade \( b\cdot r_0\) e o denominador, \( n\), da divisão. Este divisor comum, ele próprio, pode ter alguns de seus fatores em \( b\) e outros em \( r_0\). Note que frisamos esta possibilidade no argumento do \( mdc\) que consta da hipótese do teorema.

Nós ainda refinaremos muito mais o conhecimento sobre a composição interna dos restos, mas, por ora, vamos apreender o seguinte fato bem básico.

Mas, podemos restringir a nossa hipótese apenas à possibilidade que envolve \( r_0\), ao invés de \( br_0\), como acima. O estabelecimento desta hipótese é muito mais um ato de vontade cuja consequência matemática imediata se amolda perfeitamente na mesmíssima forma expressa na tese do teorema anterior. Esta vontade é uma vontade restritiva: desejamos restringir o máximo divisor comum apenas a \( r_0\) e \( n\) e não mais a \( br_0\) e \( n\).

Deste modo, a prova cabível, mesmo neste contexto ligeiramente modificado, acaba por ser, ainda assim, a mesmíssima que a do Teorema 3 acima.

O próximo teorema é, em verdade, um corolário do Teorema 4 . Ele afirma que todos os restos \( r_i\) que seguem um dado resto, \( r_{\bar i}\), em \( s(b,m,n)=\{r_0,\dots,r_{\bar i},\dots, r_i,\dots\}\) devem ser divisíveis pelos divisores simultâneos de \( r_{\bar i}\) e \( n\).

Por fim, podemos já concluir que todos os restos do período verdadeiro têm o mesmo divisor máximo com \( n\). Nós logo veremos que um mesmo denominador \( n\) pode ter várias sequências \( s(b,m,n)\) ligadas a si a depender do valor do numerador \( m\) e que isto tem tudo a ver com o \( mdc\) que os restos de \( s\) têm com \( n\).

No seguinte teorema utilizaremos a noção do "menor inteiro". Se \( y = \lceil x \rceil\), então se diz que "y é o menor inteiro que é maior ou igual a x", a função teto.

Os conhecimentos que auferimos a partir o Teorema 7 nos abrem, agora, a possibilidade de construirmos um algoritmo com o qual poderemos determinar se um número, \( b\), é primo ou, caso contrário, achar todos os seus divisores.

Isto é possível, pois o teorema 7 nos mostrou a relação que há entre o número de elementos no falso período e a existência de fatores comuns entre o denominador, \( n\), e a base, \( b\), ou seja, sempre que estes fatores comuns existirem, \( \tilde{\alpha}(b,r,n)\ge 1\).

Além disto, uma peça-chave do algoritmo que apresentaremos será dada no próximo teorema. Trata-se de um fato que conhecemos bem, na base 10, e segundo o qual, às vezes, a parte quebrada de uma fração \( \frac{r}{n}\) tem, ou não, um falso período, ou seja, \( \tilde{\alpha}(b,r,n)\ge 0\), e todos os demais algarismos - os do período verdadeiro - são nulos. Na escola, normalmente se diria, como já observamos, que tal dízima é finita e não periódica, ou, se \( r_1=0\), que \( \frac{r}{n}\) é um inteiro.

Neste caso, como veremos, os restos do período verdadeiro também são todos nulos. E, na verdade, a sequência de restos do período verdadeiro de \( s\), bem como a sequência de algarismos \( a\) do mesmo período verdadeiro, ao invés de serem finitas, são infinitas de período igual a \( {0}\).

Quando um número \( n\) divide um outro número, o resto, \( r_1\), desta divisão é nulo. Sabemos disto "desde sempre"! O ponto aqui, é que, agora, este fato básico aparece enquadrado em um esquema mais geral e, junto com outro fato que exporemos no Teorema 8 , abaixo, poderá ser utilizado para sondar não só a divisibilidade mas, antes, também a ocorrência de fatores comuns entre \( n\) e \( b\) - o que exporá o fato, caso ele ocorra, de que a base \( b\) não é um número primo.

O seguinte Teorema 8 aborda o efeito que se observa nos restos quando o produto \( br_0\) e o denominador têm, um com o outro, todos os fatores primos em comum.

O próximo Teorema 9 contém o cerne do algoritmo que delinearemos. Ele afirma e prova uma verdade muito acessível: se a fração \( \frac{r}{n}\) não exibe um período falso para qualquer denominador \( n\in \{2,..., b-1\}\), então, \( b\) é um número primo. E, deste modo, somos capazes de determinar se um número é primo ou composto, apenas fazendo continhas de divisão! Isto é algo surpreendente ainda que \( \frac{r}{n}\) deva ser expressa numa, não usual, base \( b \neq 10\).